相關(guān)系數(shù)和決定系數(shù)是統(tǒng)計學(xué)中常用于評估變量之間關(guān)系的兩個重要指標(biāo)，它們既有聯(lián)系也有區(qū)別。

1.定義與計算方式

(1)相關(guān)系數(shù)：通常指皮爾遜相關(guān)系數(shù)，衡量兩個變量之間的線性相關(guān)程度，取值范圍在[?1.1]之間。其計算基于變量的協(xié)方差與標(biāo)準(zhǔn)差的比值，反映變量間的線性關(guān)聯(lián)方向(正相關(guān)或負(fù)相關(guān))和強(qiáng)度。

(2)決定系數(shù)：衡量回歸模型對因變量變異的解釋程度，取值范圍在[0.1]之間。

2.取值范圍與意義

(1)相關(guān)系數(shù)：取值范圍為[?1.1]，絕對值越接近1.表示變量間線性關(guān)系越強(qiáng);0表示無線性相關(guān)。

(2)決定系數(shù)：取值范圍為[0.1]，越接近1.說明模型擬合效果越好，即自變量能解釋更多因變量的變異。

1.相關(guān)系數(shù)為1表示兩個變量之間存在完全的正線性相關(guān)關(guān)系，即在給定數(shù)據(jù)集中，所有數(shù)據(jù)點(diǎn)都嚴(yán)格落在一條斜率為正的直線上，變量X和變量Y的變化方向完全一致，X增加時Y必然相應(yīng)增加，反之亦然。

2.相關(guān)系數(shù)絕對值等于1時，說明兩個變量的數(shù)據(jù)點(diǎn)嚴(yán)格分布在一條直線上，其中相關(guān)系數(shù)為1特指完全正相關(guān)(負(fù)1則為完全負(fù)相關(guān))，這反映了線性關(guān)系的完美強(qiáng)度。

3.在實(shí)際應(yīng)用中，由于測量誤差或數(shù)據(jù)采樣問題，真正的相關(guān)系數(shù)等于1的情況很少見，但這并不改變其理論含義。

需要注意的是，相關(guān)系數(shù)為1僅表明變量間的線性關(guān)聯(lián)強(qiáng)度，但并不等同于存在因果關(guān)系。

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相關(guān)系數(shù)的取值范圍

相關(guān)系數(shù)r的范圍與意義是什么

相關(guān)系數(shù)r與回歸系數(shù)b在統(tǒng)計學(xué)中存在密切關(guān)系，具體如下。

1.符號一致性

在簡單線性回歸中，r和b的符號相同。若r>0(正相關(guān))，則b>0;若r<0(負(fù)相關(guān))，則b<0.這表明兩者對變量關(guān)系的方向判斷一致。

2.數(shù)學(xué)關(guān)系

回歸系數(shù)b與相關(guān)系數(shù)r的計算公式存在關(guān)聯(lián).

b=r?sx/sy

其中sx和sy分別是自變量x和因變量y的標(biāo)準(zhǔn)差。這意味著b的大小不僅取決于r，還與變量的離散程度有關(guān)。

相關(guān)系數(shù)，是衡量兩個隨機(jī)變量之間線性關(guān)系強(qiáng)度和方向的統(tǒng)計指標(biāo)，其定義基于協(xié)方差和標(biāo)準(zhǔn)差：假設(shè)隨機(jī)變量X和Y的方差D(X)和D(Y)均大于0.則相關(guān)系數(shù)ρ的計算公式為ρ = Cov(X,Y) / √(D(X) * D(Y))，其中Cov(X,Y)表示X和Y的協(xié)方差。

其值介于-1和1之間，取值范圍與含義如下。

(1)1：表示完全正相關(guān)，即兩個變量呈線性增長關(guān)系。

(2)-1：表示完全負(fù)相關(guān)，即兩個變量呈線性反向關(guān)系。

(3)0：表示無線性相關(guān)，但可能存在非線性關(guān)系。

(4)0到1之間：表示正相關(guān)程度逐漸增強(qiáng)

(5)-1到0之間：表示負(fù)相關(guān)程度逐漸增強(qiáng)。

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)都是用來衡量兩個變量之間關(guān)系的統(tǒng)計量，但它們在定義、計算方式以及實(shí)際應(yīng)用中存在一些重要區(qū)別。

1.定義

(1)協(xié)方差表示兩個變量之間的總體誤差。換句話說，它描述了兩個變量如何共同變化。

(2)相關(guān)系數(shù)是一種標(biāo)準(zhǔn)化的協(xié)方差，它消除了兩個變量量綱的影響，用于度量兩個變量之間的線性相關(guān)程度。

2.取值范圍

(1)協(xié)方差的結(jié)果可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)，正的協(xié)方差表示兩個變量傾向于同向變動(即一個變大另一個也變大)，負(fù)的協(xié)方差表示兩個變量傾向于反向變動。

(2)相關(guān)系數(shù)的取值范圍固定在-1到1之間。1表示完全正相關(guān)，-1表示完全負(fù)相關(guān)，0表示沒有線性相關(guān)關(guān)系。

相關(guān)系數(shù)取值范圍為-1.0（含）到+1.0（含）之間，即：-1.0 ≤Corrxy≤+1.0。

相關(guān)程度看的是相關(guān)系數(shù)的絕對值。相關(guān)系數(shù)的絕對值越大，相關(guān)程度越高，當(dāng)相關(guān)系數(shù)為零時，說明兩項(xiàng)資產(chǎn)缺乏相關(guān)性，即無關(guān)，當(dāng)相關(guān)系數(shù)的區(qū)間為[0，1]時，相關(guān)系數(shù)越大，相關(guān)程度越高，風(fēng)險分散效應(yīng)越弱；當(dāng)相關(guān)系數(shù)的區(qū)間為[0，-1]時，相關(guān)系數(shù)越大，相關(guān)程度越低，風(fēng)險分散效應(yīng)越弱。

相關(guān)系數(shù)和β系數(shù)的關(guān)系

相關(guān)系數(shù)和β系數(shù)是兩個不同的指標(biāo)，相關(guān)系數(shù)可以衡量任何兩項(xiàng)資產(chǎn)收益率之間的變動關(guān)系，而β系數(shù)只能衡量某項(xiàng)資產(chǎn)或資產(chǎn)組合收益率與市場組合收益率之間的關(guān)系。

相關(guān)系數(shù)與協(xié)方差的關(guān)系

1.相關(guān)系數(shù)與協(xié)方差一定是在投資組合中出現(xiàn)的，只有組合才有相關(guān)系數(shù)和協(xié)方差。單個資產(chǎn)是沒有相關(guān)系數(shù)和協(xié)方差之說的。

2.相關(guān)系數(shù)和協(xié)方差的變動方向是一致的，相關(guān)系數(shù)是負(fù)的，協(xié)方差一定是負(fù)的。

相關(guān)系數(shù)取值范圍為-1.0（含）到+1.0（含）之間，即：-1.0 ≤Corrxy≤+1.0。

當(dāng)相關(guān)系數(shù)的區(qū)間為[0，1]時，相關(guān)系數(shù)越大，相關(guān)程度越高，即為正相關(guān)（ posj Live correlation ），說明兩項(xiàng)資產(chǎn)的報酬率傾向于同向變動。

特別是相關(guān)系數(shù)為+1.0，說明兩項(xiàng)資產(chǎn)的報酬率完全正相關(guān)，這意味著給定其中一項(xiàng)資產(chǎn)報酬率的變動，可以確知另一項(xiàng)資產(chǎn)一定沿相同的方向變動，而且變動幅度是確定的。

相關(guān)系數(shù)r的計算公式

相關(guān)系數(shù)(Corrxy或rxy)與協(xié)方差(Covxy或σxy)兩個概念密切相關(guān)，兩者的換算關(guān)系如下列公式所示：

rxy=Covxy÷（σx× σy）；Covxy=rxy×σx× σy

其中：